Размечаем планшайбу. Универсальная шкала.
Часть 1. Почему «универсальная» шкала?
Возникла у меня потребность поделить круглую заготовку на 7 частей. Попытался поделить 360 на 7. И что? Не делится без остатка! И сразу вопрос: как мне поможет шкала на планшайбе, размеченная на 360 частей, т.е. деление по одному градусу? Ответ: никак.
Поэтому пришла идея разметить планшайбу с нанесением на неё универсальной шкалы. Идея заключается в том, чтобы на основную шкалу нанести еще 4 шкалы.
Основная шкала, назовём её так, это разметка планшайбы по 15 градусов. На планшайбе делаем отметки "0", "90", "180" и "270". Затем по обе стороны от каждой из отметок нанесем риски с разным значением делений. Так, на секторе от 330 до 30 градусов ("0" или "360" в середине) мы разместим шкалу на 60 делений, т.е. одно деление будет равно 6 градусам.
На секторе между 60 и 120 градусами ("90" в середине) разместим шкалу на 48 делений, т.е. одно деление будет равно 7,5 градусам.
На секторе планшайбы межу 150 и 210 градусами ("180" в середине) разметим шкалу на 42 деления, то есть цена одного деления равна 8,75 градусов.
На секторе планшайбы между 240 и 300 градусами ("270" в середине) разместим шкалу на 36 делений, т.е. с ценой деления 10 градусов.
А теперь немного аргументов в пользу такого разбиения планшайбы.
1. С помощью шкалы "42" мы можем разбить окружность на 7 частей, потому что 42 делится на 7 без остатка – это 6 делений. Соответственно, с ее же помощью можно разбить окружность на 14, 21, 42 части. Шкала на 360 частей этого не позволит сделать.
2. При разбивке планшайбы на 360 делений мы можем произвести разбивку на 2, 3,4,5,6,8,9,10,12,15, 18,20,24,30,36,40,45,60,90,120,180 делений, а всего на 21 значение.
Универсальная шкала кроме этих значений позволит произвести разбивку еще на несколько значений: 7, 14, 16, 21, 48, 72, 80, 144, 240 . То есть на 30 значений, как минимум.
Следовательно, универсальная шкала более функциональна, нежели шкала на 360 делений.
Часть 2. Немного о теории ошибок.
Приходится принять за аксиому, что любое (!!!) измерение мы сможем сделать только с ошибкой. Или, иначе, без ошибок выполнить какое-либо измерение практически невозможно.
На точность измерения влияют несколько факторов. Перечислим некоторые из них.
1. Любой измерительный инструмент отличается от эталонного.
2. Любой штрих имеет реальные линейные размеры. Например, острие иглы циркуля имеет "толщину" несколько микрон, ну для примера 10. При совмещении линейки с таким штрихом мы не сможем "на глаз" определить, на какую часть штриха приходится край линейки: на один, второй или третий микрон толщины.
3. Самый остро заточенный карандаш тоже имеет толщину около 0,2 мм, кроме того, с каждым штрихом эта толщина изменяется из-за истирания графита.
Вывод: для практических нужд в домашних условиях мы можем "рассчитывать" на точность в пределах нескольких сотых долей миллиметра.
С учетом приведенных рассуждений при разметке планшайбы следует использовать наиболее острые иглы, плоские линейки, аккуратные руки и зоркий глаз.
Часть 3. Разметка.
Для разметки я изготовил рамку из обрезков брусков, куска ДВП. Рамку прикрепил на станок с помощью струбцин, при этом плоскость экрана (листа ДВП с листком бумаги) должна быть перпендикулярна направляющим станка. И еще одно требование: экран должен располагаться не просто перпендикулярно, но и так, чтобы линейка, закрепленная на оси в патроне станка, скользила бы по экрану без зазора. Такое расположение необходимо для максимально возможного исключения ошибок при разметке.
Обратите внимание на то, чтобы наша импровизированная линейка из обрезка оцинковки также плотно прилегала к планшайбе, и "рабочая" часть (та часть, по которой мы будем отчеркивать риски) должна быть перпендикулярно плоскости планшайбы. Вместо обрезка оцинковки можно, конечно, взять металлическую линейку. Но обрезок можно легко подогнуть до плотного прилегания к планшайбе. Закрепляется с помощью груза. У меня это металлическая болванка.
Линейка из уголка имеет пять отверствий, все расположены на одной линии. Одно отверствие диаметром 5,8 мм. В него вставляется шпилька 6 мм, которая с двух сторон крепится гайками. Следующие 4 отверствия я просверлил сверлом 1 мм, и располагаются они от оси первого отверствия соответственно на 195 (для 36 делений), 220 (для 60), 241 (для 42), 260 (для 48 делений) мм. Скажу уже по опыту, что сверло надо бы взять раза в два тоньше – 0,4 - 0,5 мм. Но у меня такого не было под рукой. Дело в том, что в эти отверствия будем вставлять остро заточенный карандаш и, поворачивая линейку, будем чертить дуги соответствующего радиуса. Острие карандаша в отверствии диаметром 1 мм немного "болтается", т.е. радиус вычерчивается с небольшой ошибкой – 2-3 десятки.
Линейка при ослаблении наружной гайки "ложится" на опору. У меня это подвернувшийся под руку обрезок доски. Но может быть и просто саморез.
Немного геометрии.
Все перечисленные выше приготовления нужны вот для чего. Есть в геометрии такое понятие – равносторонний треугольник. Это геометрическая фигура, которая имеет равные стороны, и, соответственно, равные углы между ними, то есть по 60 градусов. В нашем случае вершиной угла будет ось шпинделя станка, "материализованная" в виде зажатой 6 миллиметровой шпильки, на которой закреплена линейка из алюминиевого уголка. Треугольник, таким образом, лежит на боку. Его основание мы прочертим на экране в виде хорды между засечками на соответствующей дуге.
Как это сделать?
С помощью остро заточенного карандаша и вторым, третьим, четвертым и пятым отверствием ослабленной линейки чертим на листе бумаги дуги.
Далее, от нижней точки на внешней дуге отмеряем 260 мм, получая вторую (верхнюю) точку основания равностороннего треугольника.
Почему на внешней дуге? Можно на любой из них, но чем больше радиус, тем точнее мы сможем отметить и начертить хорду – основание треугольника. Собственно говоря, чертить линию основания нет необходимости: мы будем использовать только засечки на кривой, которые являются вершинами боковых углов треугольника – углов у его основания.
Это свойство равностороннего треугольника мы можем использовать следующим образом: наша линейка из уголка, опущенная вниз на опору, совмещается с одной точкой основания треугольника. Затем ключом закрепляем линейку, затягивая гайку. Делаем риску на планшайбе, записываем на скотче первую метку – "О". Проворачиваем рукой патрон до совмещения линейки со второй точкой основания треугольника.
Таким образом, планшайба оказалась повернутой на 60 градусов. Делаем отметку на планшайбе иглой, а на скотче записываем, что это "60".
Затем ослабляем гайку крепления линейки, линейка опускается вниз, "на базу", не трогая патрон. То есть линейка вновь совмещается с первой точкой основания треугольника. Зажимаем гайку, лишая линейку подвижности. Рукой за патрон поворачиваем до совмещения линейки со второй (верхней) точкой основания треугольника. Делаем риску на планшайбе, записываем на скотче, что это "120". И так далее по этому же алгоритму размечаем планшайбу метками "180", "240" и "300".
В результате мы получаем возможность делить окружность на 2, на 3 и на 6 частей.
Движемся далее. Нам нужно получить риски на планшайбе с делением 30 градусов. Для этого основание треугольника нужно поделить пополам. В результате угол поворота линейки от нижней точки до новой точки в середине основания будет равен 30 градусам. Разделить основание треугольника можно двумя способами. Первый. Берем линейку, и от нижней точки основания откладываем 130 мм, то есть половину длины основания (хорды).
Второй, геометрический. Берем циркуль, и с его помощью, раздвинув его ножки на длину больше половины длины основания (в моем примере примерно на 150-160 мм), чиркаем по одну и по другую сторону основания перекрывающие предполагаемый сектор с половиной длины основания. Затем переставляем иглу циркуля в верхнюю точку треугольника, не изменяя расстояние между ножками циркуля, и делаем такие же риски, которые должны пересечься с ранее начерченными. Соединяем полученный точки, и в точке пересечения этой линии с линией основания треугольника будет половина длины этого основания.
А теперь по тому же алгоритму делим планшайбу, нанося деления через 30 градусов. Для этого любую из ранее нанесенных рисок совмещаем с гранью верхней линейки. Ослабляем гайку, опускаем линейку до нижней точки. Закрепляем гайку, поворачиваем токарный патрон до новой отметки в 30 градусов. Делаем риску, записываем на скотче соответствующую метку. Например, если была совмещена риска "120", то, повернув патрон в одну сторону по ходу часовой стрелки, мы получим метку в 150 градусов. А если повернули против часовой стрелки, то получите 90 градусов. И так далее по всем ранее полученным рискам (меткам), пока полностью не заполнится планшайба отметками с делениями по 30 градусов.
В итоге мы получаем возможность делить окружность еще на несколько значений: на 4, 8 и 12 частей.
Теперь, чтобы закончить нанесение делений основной шкалы, нужно нанести деления с ценой 15 градусов. То есть сектора в 30 градусов надо поделить пополам любым способом. Это мы уже проходили, в смысле, делали для секторов в 60 градусов. Вот и получим отметки на экране с делением по 15 градусов, и с их помощью нанесем риски на планшайбу.
Итак, основная шкала готова, то есть шкала с делениями ценой в 15 градусов.
Теперь нужно нанести на эту основную шкалу еще 4 шкалы для разбивки на 60, 48, 42 и 36 делений. Графически это смотрится так:
Я разместил шкалы именно в таком порядке. Но можно любую из этих шкал поместить в любое другое место по вашему усмотрению. Мне показалось такое размещение более удобным. Обратите внимание, что между шкалами остались нетронутыми сектора по 30 градусов. Можно, конечно, расширить сектора шкал за счет оставшихся свободными секторов. Я не стал этого делать, чтобы не перегружать шкалы. Например, для шкалы на 42 деления 5 рисок по 8.57 от риски 180 в любую сторону будут "отстоять" на 42.85 градуса. То есть почти вплотную к меткам 135 или 245, что может затруднить их использование.
Часть 4. Нанесение шкалы на 60 делений.
Для разбивки этой шкалы нам нужно получить деления с ценой в 6 градусов. Для этого вновь немного геометрии. Чтобы в окружности получить треугольник с углом в вершине в 6 градусов, нам нужно рассчитать длину основания такого треугольника. Треугольник будет равносторонний, а основание вписанного в окружность треугольника является хордой.
Формула для вычисления хорды: L=2*R*sin(A/2), L – длина хорды, R- радиус окружности, A – угол.
Из всех известных нам величин мы знаем только значение угла – 6 градусов. Найти синус половины от 6 градусов дело техники.
Я сделал далее так: использовал метод "научного тыка". С помощью программы Excel таблицу, в которую включил длины радиусов с градацией через 1 мм, начиная от 130. И по формуле получил значения длин хорды. Таблица получилась длинная, часть этой таблицы после удаления ненужных значений (дробных) выглядела так:
Осталось выбрать нужные значения. Поскольку вычисления делались с точностью до 0.00001, то я выбрал, во-первых, четные значения, которые делятся на 4. Во-вторых, те, которые можно было округлить, если после запятой было не более 0.03. Это к вопросу об ошибках: три сотых мы никак не сможем "отследить" при использовании шкал. Напомню, что толщина карандашной линии минимум 0,2 мм. Так что сотыми долями можно смело пренебречь (мы уже привыкли, что ошибки при измерениях есть всегда).
Почему надо "делиться" на 4? А просто. Ведь мы сначала делили основание треугольника на 2, а потом еще раз на 2. И получали в результате целое число, а не дробное.
Отбор значений выглядел так:
Но потом я отказался от этого выбора, так как между 134 и 376 мм слишком большой разрыв. И поискал другие значения. Нашел. В таблице их уже нет, т.к. я их оттуда вырезал. Это значения 195,220,241 и 260 мм. Дуги с такими радиусами расположились достаточно компактно, не мешая друг другу. Да, не все делятся на 4 без остатка. А все нам и не нужны. Для создания основной шкалы я взял дугу с самым большим радиусом. Для деления пополам использовал графический метод, т.е. с помощью циркуля. А если решите пользоваться линейкой, – флаг в руки!, – шкала с радиусом 260 мм делится два раза пополам без остатка. Длины хорд получились, соответственно, 34, 23, 36 и 34 мм.
Итак, в секторе для шкалы для разбивки на 60 делений нам нужно нанести риски с ценой деления 6 градусов. Как это сделать? Все просто, как гудок паровоза. С помощью линейки или циркуля откладываем от нижней или любой другой точки на дуге радиусом 220 мм хорду длиной 23 мм. Риску на планшайбе со значением "90" совмещаем с краем верхней линейки. Совмещаем нижнюю линейку с одним концом полученной хорды, закрепляем гайку, зажимаю линейку. Поворачиваем патрон до совмещения края линейки со вторым концом хорды. Получили угол 6 градусов. Иглой циркуля делаем риску на планшайбе. Чтобы ускорить процесс (и уменьшить количество ошибок измерения хоть чуть-чуть), на дуге лучше с помощью циркуля надо сделать засечки не для одной хорды, а для нескольких. Тогда не нужно будет каждый раз ослаблять гайку, совмещать линейку с нижней точкой, а просто после нанесения очередной риски поворачиваем патрон до следующей риски (конца следующей хорды).
Часть 5. Остальные шкалы.
Длина хорды для шкалы на 36 делений равна 34 мм, которую мы, как и ранее, размечаем на дуге, но уже с радиусом 195 мм. Если "сделать" 6 таких хорд, то разметку шкалы можно начинать со значения "240" и закончить на значении "300". Цена одного деления 10 градусов.
И далее уже по отработанному алгоритму с помощью дуги 260 мм разбивается шкала на 48 делений (длина хорды 34 мм). Цена деления 7.5 градусов.
С помощью дуги 241 мм разбивается шкала на 42 деления. Длина хорды 36 мм, цена деления 8.57 градусов.
Заключение.
Еще раз про вопрос: а зачем это нужно так усложнять разметку? Ответ прост: не нужно вам, не делайте. Мне потребовалась такая разбивка для того, чтобы в будущем делать шестерни с зубьями на 42 и 48 зубьев. Еще нужны будут шкалы на 29 и 32 зуба. Но их я сделаю уже к имеющимся с помощью временной разбивки на скотче. Но это будет потом.
И последний вопрос: а как этим пользоваться, ведь каждая из шкал (кроме основной) короткая, всего сегмент на 1/6 окружности планшайбы?
Ответ: пользоваться несложно. Покажу чуть позже видео (когда смонтирую). А пока кратко расскажу.
Нужно на патрон наклеить скотч. Вместо одной нужно взять две верхние линейки. Лучше из оцинковки, чтобы линейку можно было бы легко согнуть.
А теперь пара примеров. Допустим, нам нужно разметить круг на 6 частей. Для этого используем основную шкалу, с одной верхней линейкой. Последовательно совмещая риски 0, 60, 120, 180, 240 и 300 мы получим деление на 6 частей. Круг, ест-но, зажат в патроне, который мы поворачиваем и по краю резца или самим резцом делаем риски.
А теперь разметим круг, зажатый в патроне, на 5 частей. На основной шкале нет таких делений. Тогда подумаем, какая из шкал без остатка делится на 5? Верно: шкала на 60 делений. Это 12 делений. Но, черт побери: у нас на шкале только 10 делений!?
Спокойно, без паники. Цена одного деления этой шкалы 6 градусов. Следовательно, 12 делений это 72 градуса. А на основной шкале в предыдущем примере мы использовали сектора по 60 градусов. И что нам помешает одну верхнюю линейку совместить с риской "300", а другую линейку совместить на второй риске слева от "0". То есть к 60 добавить 2 раза по 6, получим 72. Линейки располагаем так, чтобы они плотно прилегали к планшайбе. Не получается? Верно, радиус планшайбы слишком мал, кривизна большая, и линейки либо повиснут в воздухе, либо их надо будет сильно изгибать, чтобы они плотно прилегали к планшайбе. Не надо делать ни того, ни другого. Просто включим голову, и вместо 12 делений давайте возьмем 6 делений, т.е. 36 градусов. И становим линейки через 6 делений.
На скотче карандашом или ручкой сделаем по линейкам черточки. На нашем круге делаем первую засечку резцом. Поворачиваем рукой патрон, допустим по ходу часов, до совмещения левого штриха на скотче до края правой линейки. Мы повернули на 36 градусов. На скотче у левой линейки чертим риску, и поворачиваем патрон до этой риски. Вот мы и повернули на 72 градуса. Резцом делаем вторую засечку. И так далее. Одна тонкость. Черточки ручкой или карандашом получаются "толстыми", как ни старайся. Поэтому край правой линейки при повороте патрона должен совмещаться не с правым краем левой черты, а с ее левым краем. То есть практически полностью черта должна заходить под правую линейку. Иначе будет накапливаться ошибка в 2-3 десятки при каждом измерении. А по кругу это может составить более миллиметра.
Чтобы поделить на 14 частей, надо использовать шкалу на 42 деления. 42:14=3 деления.
Интереснее вопрос о разбивке, предположим на 144 части. Не знаю, кому это надо, но вдруг? Здесь алгоритм другой. У нас нет шкал, которые бы без остатка делились на это числе. Тогда мы ищем не количество рисок, с градусы одного деления. 360:144=2.5 градуса. Где бы взять 2.5 градуса? А если на нашей шкале?!! У нас есть шкала с ценой деления 10 градусов. И есть шкала с ценой деления 7.5 градусов. Если 10 – 7.5 = 2.5. Вот и искомый результат! Как его получить реально? Шкалу на 36 подводим на верх, к линейкам. Одну линейку совмещаем с одной риской шкалы, другую с другой, с ближайшей. Между линейками у нас сектор в 10 градусов. Теперь поворачиваем патрон, подводя к линейкам шкалу на 48. Цена ее делений 7.5 градусов. Одну риску шкалы совмещаем, например, с левой линейкой, которую мы не трогали. Затем перемещаем эту линейку ко второй до совмещения с ближайшей риской шкалы на 48. То есть уменьшаем сектор величиной 10 градусов на 7.5. В остатке между линейками получаем сектор величиной 2.5 градуса. И вперёд! По тому же принципу, что и при делении на 5 частей используем две линейки.
Ладно, еще пример. Допустим, нужно разбить окружность на 40 частей. Посчитали: 360 : 40 = 9 градусов. Прослезились – у нас нет такой шкалы! Включаем голову. У нас есть шкала с ценой деления 7.5 градусов. Два деления на этой шкале составят сектор в 15 градусов. Устанавливаем линейки на расстоянии друг от друга в два деления на шкале 48.
А теперь от 15 надо отнять 6, чтобы получить искомые 9 градусов. Где у нас 6? Верно, на шкале 60. Как отнять с помощью линеек несколько градусов мы уже знаем. Делаем, размечаем.
По такому же принципу можно разбить окружность на 80 частей. 360 : 80 = 4.5 градуса. Три деления на шкале 48 дадут 3 х 7.5 = 22.5. Три деления на шкале 60 дадут 3 х 6 = 18 градусов. 22.5 – 18 = 4.5.
И вновь к теории ошибок. Если размечать по кругу большое количество рисок, ошибка накапливается при каждой отметке. Чтобы уменьшить ошибку, рекомендую сделать половину меток. А потом вернуться в начало, и делать разметку в другую сторону, тоже до половины. Когда эти "половинные" отметки сойдутся (а они практически никогда не сойдутся), то мы увидим величину накопившейся ошибки. К примеру, при делении на 8 частей у меня проявилась ошибка в разметке примерно в 0.1 - 0.2 мм. Для резьбовых соединений это некритично: резьбы на винтах все равно всегда провалены на 3-4 десятки. Но если бы я пошел с разметкой последовательно, то величина ошибки могла бы возрости до 0.5 мм, а это уже много. Вывод из теории больших чисел: чем меньше измерений мы делаем, тем меньше ошибаемся. И наоборот, чем больше измерений, тем больше накапливается ошибка. Это надо учитывать.
